Analisa Rantai Markov

Analisa rantai Markov adalah suatu teknik probabilitas yang menganalisis pergerakan probabilitas dari satu kondisi ke kondisi lainnya. Dikenalkan oleh Andrey A. Markov, ahli matematika dari Rusia yang lahir tahun 1856.
Analisa Markov hampir sama dengan decision analysis, bedanya adalah analisa rantai Markov tidak memberikan keputusan rekomendasi, melainkan hanya informasi probabilitas mengenai situasi keputusan yang dapat membantu pengambil keputusan mengambil keputusan.
Dengan demikian, analisa rantai Markov bukanlah teknik optimisasi, tetapi adalah teknik deskriptif yang menghasilkan informasi probabilitas dimasa mendatang.

Untuk dapat menerapkan analisa rantai Markov kedalam suatu kasus, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi :
1. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari system sama dengan 1
2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam system
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu
4. Kondisi merupakan kondisi yang independent sepanjang waktu.

Dalam realita, penerapan analisa Markov bias dibilang cukup terbatas karena sulit menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk analisa Markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus konstan sepanjang waktu (probabilitas transisi adalah probabilitas yang terjadi dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam system).

Contoh Aplikasi

Aplikasi analisa rantai Markov yang terkenal diantaranya adalah analisa perpindahan merek dari pelanggan, analisa probabilitas kerusakan mesin, analisa hutang tak tertagih, dan masih banyak lagi yang lainnya.
Sebagai contoh aplikasi, kelompok kami akan membuat sebuah model perpindahan merek (karena cukup sederhana dibandingkan model lainnya) seperti dibawah ini :

Misalkan ada tiga perusahaan pengiriman barang disuatu kota dengan penduduk 2000 orang, yaitu A, B, dan C. Setiap bulannya, penduduk di kota tersebut menggunakan salah satu dari ketiga perusahaan tersebut. Setelah diadakan survey, ternyata pelanggan tidak setia sepenuhnya pada perusahaan pengiriman manapun. Pelanggan akan berpindah perusahaan sebagai akibat adanya peningkatan kualitas pelayanan, periklanan, promosi, dan faktor lainnya. Hasil surveinya adalah sebagai berikut :
- Jika pelanggan melakukan transaksi dengan A bulan ini, ada probabilitas sebesar 50% bahwa pelanggan akan melakukan transaksi dengan A kembali dibulan berikutnya. Sedangkan bahwa pelanggan akan berpindah ke B dan C, terdapat probabilitas sebesar 30% dan 20%
- Untuk pelanggan yang bulan ini mengadakan transaksi dengan B, terdapat probabilitas sebesar 55% bahwa pelanggan tersebut akan kembali pada mereka dibulan berikutnya. Sedangkan bahwa pelanggan akan berpindah ke A dan C, terdapat probabilitas sebesar 20% dan 25%
- Untuk C, probabilitas bahwa pelanggan akan kembali pada mereka dibulan berikutnya adalah 60%. Sedangkan probabilitas pelanggan akan beralih ke A dan B adalah 20% dan 20%.

Probabilitas pergerakan pelanggan perbulan tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut dalam matriks transisi:

Jika ditetapkan event 1 = (0,3  0,35  0,35), hasil perkalian event dengan matriks transisi diatas terlihat seperti dibawah ini :

Dengan event sebesar (0,3  0,35  0,35) didapati
equilibrium tercapai pada bulan ke 12, yaitu
sebesar :
Perusahaan A = 29%
Perusahaan B = 35%
Perusahaan C = 36%

Dengan demikian terlihat bahwa meskipun pangsa pasar A menurun terus pada bulan-bulan pertama, ternyata akhirnya berhenti di 29% ketika mencapai masa equilibriumnya. Demikian juga dengan pangsa pasar B dan C yang mengalami kenaikan dan penurunan pada awal periode, namun akan tetap konstan setelah masa equilibrium tercapai. Artinya pangsa pasar ketiga perusahaan tidak akan berubah lagi, kecuali ada perubahan operasi yang dapat mengakibatkan perubahan jumlah transaksi yang terjadi.

Maka, dengan penduduk sebesar 2000 orang, yang dilayani oleh masing-masing perusahaan adalah :
Perusahaan A = 2000 x 29% = 580 orang
Perusahaan B = 2000 x 35% = 700 orang
Perusahaan C = 2000 x 36% = 720 orang

Sebagai tambahan, juga dilakukan percobaan  membuktikan hasil perhitungan dari matriks kejadian pada hasil kerja yang pertama, yaitu dengan percobaan awal terhadap MK (1  0  0), yang kemudian dibandingkan terhadap pembalikkan apabila yang dijadikan MK awal adalah :
a. (0  1  0)………………… apabila analisis dilakukan oleh perusahaan B, sehingga B = 1
b. (0  0  1)…………………..apabila analisis dilakukan oleh perusahaan C, sehingga C = 1

Dengan event awal (1  0  0) (dengan asumsi analisa dilakukan oleh perusahaan A, sehingga pada bulan 1 100% pelanggan yang melakukan transaksi dengan A diwakili dengan variable 1. Pada bulan 2, dari 100% yang awalnya melakukan transaksi dengan A terdapat 30% yang berpindah ke B dan 20% yang lari ke perusahaan C), ternyata membawa hasil yang tidak jauh berbeda apabila analisa Markov ini dilakukan oleh perusahaan B atau C. (dapat dilihat pada tabel dibawah)

Dengan event awal (1  0  0) didapati equilibrium tercapai pada bulan ke 15, dengan pangsa pasar :
A = 29%
B = 35%
C = 36%

Dengan jumlah penduduk 2000 orang, maka total yang dilayani oleh perusahaan A, B, dan C adalah

A = 29% x 2000 = 580 orang
B = 35% x 2000 = 700 orang
C = 36% x 2000 = 720 orang

Pembuktiannya adalah hasil perhitungan matriks berikut seandainya analisis dilakukan oleh perusahaan B dengan event (0  1  0) dikalikan terhadap matriks transisi diatas :

Dengan event awal (0  1  0), dapat dilihat bahwa masa equilibrium dicapai pada bulan ke 14, dengan pangsa pasar equilibrium yang sama, yaitu :
A = 29%
B = 35%
C = 36%

Sedangkan apabila MK awal adalah (0  0  1), yaitu dilakukan oleh perusahaan C, dapat dilihat bahwa equilibrium tercapai pada
Bulan (e) 15, dengan jumlah pangsa pasar yang sama dengan 2 event diatas, yaitu : (tabel dibawah)
A = 29%
B = 35%
C = 36%

Dengan MK awal seperti hasil kerja kami yang pertama, meskipun tidak menghasil e2, e3, e4,….en yang tidak sama apabila MK dibolak-balik, namun nilai pada e equilibrium sama pada pembalikkan manapun.

Ket :
Apabila menggunakan Solver, persamaan-persamaan yang harus dimasukkan adalah persamaan berikut ini :
A = 0.5 A + 0.2 B + 0.2 C
B = 0.3 A + 0.55 B + 0.2 C
C = 0.2 A + 0.25 B + 0.6 C
1 = A + B + C
A = 1 – B – C

Dari hasil perhitungan manual (dengan cara substitusi) persamaan-persamaan diatas, diketahui e equilibrium dari ketiga perusahaan adalah :
A = 29%
B = 35%
C = 36%

Dengan contoh aplikasi diatas, dapat dilihat bahwa analisa rantai Markov hanya menghasilkan informasi, bukan keputusan.
Misalkan analisa diatas dilakukan oleh perusahaan pengiriman barang A, maka A telah memperoleh informasi berharga untuk masa yang akan datang bahwa :
1. Probabilitas untuk pelanggan yang setia dengan A setelah equilibrium dicapai adalah 580 orang atau 29% dari total jumlah penduduk.
2. Pangsa pasar A adalah yang paling rendah, yaitu hanya 29%

Dengan diketahuinya hal ini, pengambil keputusan pihak A dapat memikirkan rencana jangka panjangnya untuk meningkatkan pangsa pasar. Misalnya saja A dapat menambah kualitas pelayanannya sehingga probabilitas bahwa pada bulan kedua pelanggan akan kembali pada A dapat bertambah. Dengan demikian, dalam jangka waktu tertentu ketika A, B, dan C mencapai masa equilibrium, pangsa pasar A akan bertambah besar.